魏爾斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，1815 -1897）被譽為「現代分析之父」。大學畢業後他在兩處偏僻的地方中學度過了包括30歲到40歲的這段數學家的黃金歲月。他在中學不光是教數學，還教物理、德文、地理甚至體育和書法課，當時工資很低，連投稿的郵費都沒有。但魏爾斯特拉斯以驚人的毅力，過著一種雙重的生活。他白天教課，晚上攻讀研究數學家著作，並寫了許多論文。其中有少數發表在當時德國中學發行的一種不定期刊物「教學簡介」上，但正如瑞典數學家米.列夫勒所說的那樣：「沒有人會到中學的教學簡介中去尋找有劃時代意義的數學論文」。
不過魏爾斯特拉斯這一段時間的業餘研究，卻奠定了他一生數學創造的基礎。這一段當時看起來默默無聞的生活，其實蘊含著巨大的力量——他不僅是一位偉大的數學家，而且是一位傑出的教育家！他是如此熱愛教育事業，培養出了一大批有成就的數學人才，即便是在這偏僻的中學當數學老師的時候，他為了能夠讓自己的學生們更好地理解微積分中最重要的極限概念，而改變了柯西等人當時對極限的定義（高中描述版的），創造了著名的、直到今天大學數學分析教科書中一直沿用的極限的ε-δ定義，以及完整的一套類似的表示法，使得數學分析的敘述終於達到了真正的精確化。一直到1853年，魏爾斯特拉斯將一篇關於阿貝爾函數的論文寄給了德國數學家克雷爾主辦的《純粹與應用數學雜誌》【1】，讓他的聲譽傳到歐洲數學界。克雷爾接受了魏爾斯特拉斯的論文並在第二年就發表出來，隨即引起了轟動。哥尼斯堡大學一位數學教授親自到魏爾斯特拉斯當時任教的布倫斯堡中學向他頒發了哥尼斯堡大學博士學位證書。普魯士教育部宣布晉升魏爾斯特拉斯，並給了他一年假期帶職從事研究。從此之後，也就是他當了十幾年中學教師後，魏爾斯特拉斯被任命為柏林工業大學數學教授，同年被選進柏林科學院，他後來又轉到柏林大學任教授直到去世。魏爾斯特拉斯很少正式發表自己的研究成果，他的許多思想和方法主要是通過他在柏林工業大學和柏林大學的課堂講授而傳播的，其中有一些後來由他的學生整理髮表出來。他高尚的風範和精湛的教學藝術是永遠值得全世界數學教師學習的光輝典範。
微積分的誕生（Newton和Leibniz的首創脫穎而出），創造性地把數學推到了一個嶄新的高度，它宣告了古典數學的基本結束，同時標誌著以變量為研究主體的近代數學的開始。通過微積分的發明，人們找到了數學的新的福地，整個十七、十八世紀，幾乎所有的歐洲數學家都對微積分表現出極大的興趣。對傳統的批判，對新方法的追求，對新領域的拓展，使他們共同譜寫了一曲數學史上的「英雄交響曲」！歐拉形式化的方法的真正貢獻是把微積分從幾何中解放出來，而使牠建立在算術和代數的基礎上。這一步至少為基於實數系統的微積分的根本論證開闢了道路。但是，對這種形式主義的做法，仍有人表示憂慮。1743年d’Alembert說，「直到現在，表現出更多關心的是去擴大建築，而不是在入口處張燈結綵；是把房子蓋的更高些，而不是給基礎補充適當的強度。」Lagrange也決心給微積分提供全部的嚴密性，Lagrange致力於尋找一個簡單的代數方法。在1759年，他似乎滿足地認為已找到這個方法，因為在那一年，他寫信給歐拉說，他相信已研究出力學和微分學原理儘可能深的真正理論基礎。遺憾的是Lagrange的工作純粹是形式的，他用符號表達式來進行計算，不涉及極限、導數、連續、積分等根本性的概念。Weierstrass以ε-δ語言，係統建立了實分析和復分析的基礎，基本上完成了分析的算術化，他把這座聞名於世的科學大廈打入了強有力的鋼筋和混凝土。
希爾伯特對他的評價是：「魏爾斯特拉斯以其酷愛批判的精神和深邃的洞察力，為數學分析建立了堅實的基礎。通過澄清極小、極大、函數、導數等概念，他排除了在微積分中仍在出現的各種錯誤提法，掃清了關於無窮大、無窮小等各種混亂觀念，決定性地克服了源於無窮大、無窮小朦朧思想的困難。今天，分析學能達到這樣和諧可靠和完美的程度本質上應歸功於魏爾斯特拉斯的科學活動」。
克萊因在比較魏爾斯特拉斯與黎曼時說：「黎曼具有非凡的直觀能力，他的理解天才勝過所有時代的數學家。魏爾斯特拉斯主要是一位邏輯學者，他緩慢的、系統的逐步前進。在他工作的分支中，他力圖達到確定的形式。」
龐加萊評價時寫到：「黎曼的方法首先是一種發現方法，而魏爾斯特拉斯的則首先是一種證明的方法。」
1900年，在巴黎舉行的第二屆國際數學大會上，龐加萊不無自豪的讚嘆到：「今天在分析中，如果我們不厭其煩地嚴格的話，就會發現只有三段論或歸結于純數的直覺是不可能欺騙我們的。今天我們可以宣稱絕對的嚴密已經實現了。」
【1】克雷爾的雜誌素以向有創造力的年青數學家開放而著稱。阿貝爾的論文在受到柯西等名家冷落的情況下卻被克雷爾雜誌在1827年刊登出來；雅可比的「橢圓函數論」論文、格林的「位勢論」論文、維爾斯特拉斯的阿貝爾函數等數學史上的重要文獻，也都是在別處得不到發表而在克雷爾的幫助下用他的雜誌發表的。
【2】數學史上稱黎曼為「直觀主義者」典型代表，維爾斯特拉斯為「邏輯主義者」典型代表。